Sobral Matemática

Esta é a seção de pré-prints da Sobral Matemática. Se quiser submeter um artigo para que seja pré-publicado nesta seção, envie-o a Prof. Tarcisio Praciano-Pereira ou a Prof. Juan Carlos O. Medeiros que ele será analisado com este objetivo. Sendo aceito, será publicado aqui. Clique aqui para ler as instruções, e baixe o arquivo modelo que o seu arquivo deve seguir. Basta-lhe preencher os campos do modelo com o texto do seu artigo em LaTeX.
Finalmente envie o artigo pronto, em pdf, para tarcisio @ member . ams . org anexado a um e-mail e dentro do e-mail, no formato texto, me envie as informações (na ordem como estão abaixo indicadas, separadas por uma linha em branco):

título do trabalho
o nome do arquivo que deve ter o formato preprint_ano.NN.pdf
nome do autor (no formato de publicação do CNPq)
resumo do trabalho (no máximo 10 linhas)
palavras chave

Se desejar, repita as informações (4) e (5) em espanhol, inglês ou francês sempre separando por uma linha cada bloco de informações.
Baixe da página o modelo, e respeite as regras. O envio dos dados acima indicados, no formato texto me permite "raspar" e "colar" facilitando o meu trabalho.
Abaixo seguem os títulos e um breve resumo dos trabalhos já publicados.

2003.01 - A pirâmide de Pascal ( Luzitelma Maria Barbosa de Castro e Praciano-Pereira, Tarcisio )
Mostramos uma generalização do Triângulo de Pascal em que pisos de uma pirâmide governam a distribuição das potências de um trinômio.

2003.02 - A new projector (Medeiros, J.C.O., Rodrigues dos Santos, S., Praciano-Pereira, T.)
In this paper we present a new projector by modifying a previous construction of an interpolation projector of ours. This new projector produces quasi-convolution splines tangent to the target function.

2003.03 - Existence of compact support splines (Medeiros, J.C.O., Rodrigues dos Santos, S., Praciano-Pereira, T.)
We shall develop here the construction of a compact support convolution spline kernel, that is, a kernel, a function whose integral is one, with compact support that is a spline. These objects are the nth-power by convolution of characteristic functions of intervals. Convolution spline kernels are not really new, they appeared in a paper of one of the authors of this paper, in 1994, and at the same time in papers of others authors, the main reason for this paper lies in the construction itself, a very simple one we found using distribution derivatives which we believe will open the way for a simple algorithm to implement these splines in a computer program.

2003.04 - Precision results regarding an interpolation projector (Medeiros, J.C.O., Rodrigues dos Santos, S., Praciano-Pereira, T.)
In this paper we present a modified version of convolution spline basis, but now these convolution splines are tangent to the target function f at the precision points. This has been done by constructing a spline approximation of f' and obtaining f by integration. The algorithm is more effective but has to be improved yet. In the previous process the spline function passed by the precision points with zero derivative, with good precision regarding the energy, but bad visual performance. Graphs are supplied to make the comparison clear.

2007.01 - Integral de Riemann (Praciano-Pereira, T)
Neste trabalho estou mostrando como podemos definir a integral no sentido de Riemann como uma classe de equivalência de sucessões de Cauchy.

2007.02 - Modelagem com campos vetoriais tangentes (Praciano-Pereira, T)

2007.03 - Modelangem Computacional da interseção de superfícies (Praciano-Pereira, T)
Estou mostrando nesse trabalho como podemos fazer uso do gnuplot para visualizar alguns vetores tangentes a uma curva obtida como interseção de duas superfícies do tipo f(x,y,z)=0 em que f é uma função de classe C¹.

2007.05 - Construção elementar de Splines (Praciano-Pereira, T).
Este artigo é o primeiro de uma série de artigos em que estou construindo de forma elementar, splines cúbicos. O artigo começa com introdução sobre aproximação apresentando inclusive um pouco de polinômios trigonométricos onde há um fator de aceleração. Dilação é o nome atual.

2007.06 - Curvas Diferenciáveis (Silva, M. N.)
Uma breve introdução às curvas diferenciáveis planas. O objetivo é se dirigir aos iniciantes em geometria diferencial discutindo mais demoradamente os conceitos básicos sobre curvas.

2007.07 - Curvatura (Silva, M.N.)
O objetivo deste trabalho é caracterizar uma curva usando um referencial móvel. Para isso vamos usar o triedro de Frenet, uma base ortonormal positiva obtida a partir da própria curva, quando suposta parametrizada pelo comprimento de arco.

2007.08 - Noções elementares sobre derivada (da Silva, M. Ilsângela)
Neste artigo estou apresentando as noções de derivadas com a utilização de programas como o aplicativo gnuplot e o xfig para a visualização de alguns gráficos.
O objetivo é se direcionar a neófitos neste estudo, analisando a interpretação geométrica da derivada.

2007.09 - Splines por convolução (Praciano-Pereira,T.)
A convolução é uma ferramenta teoricamente muito poderosa que ficou na geladeira até a década de 80 quando foi aquecida pelas possibilidas formais da computação. Era conhecida até a década de 70 como método de regularização de funções. O que é particularmente interessante é a observação de que ``medida de Dirac'', muito conhecida como ``função de Dirac'' é a identidade relativamente ao ``produto por convolução'': $ \delta_{0}*f = f$. Aqui vou usar convolução para construir splines mostando uma série de blocos cujo resultado final será exibir a estrutura de espaço vetorial de dimensão finita que têm os $n$-splines a suporte compacto e inclusive exibir uma base para este tipo de espaço.
Palavras chave: splines por convolução, produto de convolução, identidade aproximada.

2007.10 - LaTeX - uma ferramenta para edição de textos (Alves da Silva, S e de Oliveira, J.C.)
Uma apresentação em slides sobre o LaTeX.
Palavras chave: Latex, TIC, compilador de textos

2008.01 - Programando em gnuplot (Praciano-Pereira,T.)
gnuplot é um pacote computacional livremente distribuido para diversas plataformas computacionais, foi escrito inicialmente em 1978 e depois tem recebido significativas melhorias. Neste artigo estou mostrando como é possivel escrever programas dentro do ambiente gnuplot.
Palavras chave: gnuplot, ensino de Matemática, TIC

2008.02 - Uso de gnuplot em sessões iterativas (Praciano-Pereira,T.)
Neste artigo estou mostrando como é possível usar gnuplot, um pacote muito conhecido para fazer gráficos, como um ambiente de programação acessível. Os exemplos aqui desenvolvidos mostram que gnuplot pode ser usado como uma ferramenta didática na apresentação de tópicos de Cálculo Diferencial e Integral, é um TICE (Telecomunications, Informations, Comunications and Entertainment device). gnuplot é muito frágil como ambiente de programação, entretanto representa uma opção interessante porque é um ambiente disponível com grande universalidade, para várias plataformas, gratuito. A curiosidade aqui é a sua possibilidade como ambiente de programação. O conteúdo deste artigo pode ser facilmente modificado para ser usado com os vários capítulos do Cálculo Diferencial e Integral.
Palavras chave: gnuplot, ensino de Matemática, TIC

2008.03 - Uma integral elíptica (Praciano-Pereira,T.)
Motivado por uma pergunta de um aluno, resolvi mostrar neste artigo como lidar com uma integral a qual não seja possível aplicar o teorema fundamental do Cálculo mas que pode ser importante saber se a integral existe e uma forma de calcular-lhe uma estimativa. Aqui apresento duas estimativas, uma feita formalmente calculando um majorante para a integral e outra usando aproximação polinomial. Acho que este exemplo pode servir de guia em cálculos semelhantes embora o artigo não apresente nenhuma novidade matemática, pode servir de sugestão pedagógica.
Palavras chave: teorema fundamental do Cá, integral elementar, integral de tipo abeliana.

2008.4 - Escrevendo para aprender (Praciano-Pereira, T)
Num documento publicado na página da University of North Carolina, em 2004, Erika Lindemann responde a uma série de questionamentos sobre uma afirmação sua a respeito do escrever como método de aprendizado. Neste artigo eu vou analisar o efeito da escrita no aprendizado de Matemática e relatar a experiência que venho vivenciando em minhas tentativas de usar este método, o escrever, na produção do conhecimento em Matemática.
Palavras chave: escrevendo para aprender, aprendizado, construção do conhecimento.

2008.5 - Primeiros Exemplos de Equações Diferenciais (da Silva, M.Ilsangela)
Neste artigo temos por objetivo introduzir, de forma sucinta, um estudo de equações diferenciais, concentrado em alguns exemplos simples de equações diferenciais ordinárias de primeira e de segunda ordem à variáveis separáveis, além de mostrar um exemplo de problema da Física, que envolve esses tipo de equações, de forma que, iniciantes nessa área, tenham total compreensão do assunto em estudo.
Palavras chave: equações diferenciais ordinárias, variáveis separáveis

2008.06 - Equações Diferenciais Exatas (da Silva, M. Ilsângela e Oliveira, F. Vagner)
As equações de primeira ordem tem a forma normal $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$, em que $f$ é uma função com duas variáveis. Para estas equações existem vários métodos de integração que são aplicáveis a diversas classes. Algumas dessas classes são consideradas especiais, como por exemplo, as equações diferenciais exatas pois, possuem um método de resolução próprio. Neste artigo iremos aprofundar um pouco o estudo sobre essa classe especial de equações, em que a solução geral são curvas de nível ou variedades de nível quando a dimensão aumenta.
Palavras chave: equações diferenciais exatas, curva de nível

2008.07 - Curva de um cabo suspenso ( Rios, João Vianey Vasconcelos, da Silva, M. Ilsângela, Praciano-Pereira, Tarcisio)
A catenária (do latim catena, corrente) é um tipo de suporte para os cabos de uma rede elétrica. É conhecida como uma curva que descreve o aspecto de um cabo suspenso por suas extremidades submetido apenas à força da gravidade. O problema de descrever matematicamente a forma da curva formada por um fio suspenso entre dois pontos e sob a ação exclusiva da gravidade foi proposto por Galileu Galilei, mencionando a conjectura de que a curva fosse uma parábola. Aos 17 anos de idade, o matemático e físico holandês Christiaan Huygens(1629-1695) mostrou, em 1647, com argumentos físicos, que a conjectura era falsa sem, contudo descobrir a expressão analítica da curva. Em 1669, um outro matemático, Joachim Jungius (1587-1657), publicou um trabalho também refutando a idéia de Galileu, de que a Catenária seria uma parábola. Em 1690, Johann Bernoulli relançou o problema à comunidade científica. A solução do problema foi publicada independentemente em 1691 por John Bernoulli, Leibniz e Huygens.
Palavras chave: cabo suspenso, catenária, equações diferenciais ordinárias

2008.08 - An interpolation projector associated to a non uniform partition (Praciano-Pereira, T)
In this paper we present an interpolation projector by modifying a previous construction of a {\em compact support convolution splines partition of the unity} to produce an interpolation projector without the restriction that the partition of the interval be uniform.
We have been able also to substitute convolution by translations and dilation (the techniques of wavelet).
Keywords: approximate identity, convolution regularization, convolution splines, non uniform partition, partition of the unity, interpolation projectors.
Neste artigo construimos um projetor de interpolação associado a uma partição de um intervalo, modificando uma construção anterior em que precisavamos que a partição do intervalo fosse uniforme. Aqui a partição pode ser qualquer. Usamos em vez de convolução (diretamente), translações e dilações, as técnicas das wavelets.
Palavras chave: identidade aproximada, regularização por convolução, splines por convolução, partição não uniforme , partição da unidade, projetor de interpolação.

2009.01 - Entendendo o cálculo variacional (Praciano-Pereira, T)
In this paper I am discovering for myself, and perhaps a group of people what is variational calculus. The aim will be to apply either finite elements method, or compact support convolutions splines to obtain approximate solution of differential equations. This a preliminary approach and a number of papers may be presented here about this subject. Be warned, this material is work in progress and certainly is containing errors, be welcome to discuss the errors with me or simply pointing them to me, don't be shy. This abstract may not reflect the state of the work as I do not have time to update it every time I will post a new version of this paper. Certainly there will be an English version of this paper.
Keywords: approximate identity, compact support convolution splines, approximate solution of differential equations, variational inequalities
Neste artigo estou estudando o chamado Cálculo Variacional e como esta denominação somente tem sentido para os envolvidos, começo discutindo o que significa este ``Cálculo''. Aos leitores deste artigo, primeiro que tudo, não se exasperem com a aparente dificuldade do mesmo, é trabalho em andamento e portanto o texto ainda está muito verde. Aguardo até mesmo colaboradores para que ele melhore. O trabalho está se desenvolvendo em colaboração com Diego Frota, mas os erros que houverem por aqui, por enquanto, são meus. O objetivo é a solução aproximada de equações diferenciais e vou começar com a equações ordinárias, apesar de que neste caso, das {\em equações diferenciais ordinárias}, a forma variacional (ou fraca) e a sua forma forte, são equivalentes porque não há soluções fracas que não sejam também soluções fortes portanto {\em não vamos descobrir novas soluções} como acontece com as {\em equações diferenciais parciais}. Ainda assim tem sentido discutir esta metodologia para as equações diferenciais ordinárias como um método de aproximação e @ leitor logo vai ver a sua aplicabilidade na segunda seção. Na quarta seção apresento um exemplo usando uma equação diferencial linear, depois vou mostrar que este exemplo pode ser generalizado para finalmente chegar a expressão da forma variacional de uma equação diferencial ordinária, apresentando sua definição. Este trabalho sendo refeito e re-publicado, seguramente tem diversos erros, tenha cuidado ao lê-lo, e obviamente, seja bem vindo para discutir comigo os erros que encontrar, em particular, o resumo não está sendo atualizado! eu não estou com tempo, agora, para atualizá-lo.
Palavras chave: operador integral, identidades variacionais, splines, partição da unidade, solução aproximada de equação diferencial

2009.02 - Otimização com Perturbações de caminhos (Praciano-Pereira, T)
In this paper I am making simulations of pertubations of a path and presenting some scripts written in gnuplot which realize graphically the perturbation. The result of this paper is the algorithm to produce the paths to use with variational method for otimization of functionals. I have produced the algorithm to produce the paths around a given (suspected) otimal path using gnuplot. But the implementation of the variational method is to be developped in an forth coming paper.
Keywords: algorithm do produce paths, variational calculus, otimization along paths.
Neste artigo estou fazendo algumas simulações de perturbação de um caminho e apresentando alguns scripts escritos em gnuplot que mostram o resultado da simulação graficamente. O artigo apresenta ao final um script em gnuplot que produz uma família de caminhos em torno de um caminho conhecido como é necessário para aplicar o método variacional. Dois gráficos foram produzidos mostrando a aplicabilidade do método, um usando uma segmento de reta e outro um segmento de parábola. Porém a aplicação do método fica para um próximo trabalho.
Palavras chave: algoritmo para produzir caminhos, cálculo variacional, otimização ao longo de caminhos.

2009.03 - Lei de Snell e a Aproximação (Praciano-Pereira, T e Frota, D.A.)
In this paper we show how to explain approximation using an experimental justification of Snell's Law. We are using some ideias borrowed from the page of USP/São Carlos but we have presented more explicitly what does mean poligonal approximation of a curve.
Keywords: Snell's Law, poligonal approximation, braquistochrone Este trabalho mostra como se pode, experimentalmente, comprovando a lei de Snell, associar significado à {\it aproximação}. Nele usamos idéias que se encontram no site da USP/São Carlos, num texto em que deixamos mais explicito o que significa uma curva sendo aproximada por uma poligonal.
Palavras chave: aproximação de uma curva, braquistócrona, poligonal como aproximação de uma curva.

2009.04 - Computação gráfica, prérequesitos: Cálculo e Álgebra Linear (Praciano-Pereira, T)
This paper contains my talk delivered at set of lectures at of the Curso de Computação of the Universidade Estadual Vale do Acaraú - Sobral - Ce on several topics showing future developments to the students. My goal with this talk was to show the need of a in deep learning of Calculus and Linear Algebra as the necessary tools to make Computer Graphics. I have used some examples with blender to prove that we need to konw how to construct a curve in space to define the path where an object is to move along. A second example was to show how to deform an object whose automation comes with a composition of maps using Calculus and Linear Algebra (perhaps not so linear).
Keywords: blender, python, Calculus, Linear Algebra, Numerical Analysis, Splines.
Este artigo contém uma palestra apresentada aos alunos do Curso de Computação da Universidade Estadual Vale do Acaraú - Sobral - Ce num evento reunindo palestras com o objetivo de mostrar desenvolvimentos futuros para os estudantes. O meu objetivo foi mostrar a importãncia do Cálculo e da Álgebra Linear assim como do Cálculo númerico como instrumentos básicos para produzir os efeitos necessários à Computação Gráfica. Usei alguns demos do blender para, movimentando um objeto no espaço, mostrar a necessidade de construção de curvas representando o fio condutor do movimento deste corpo. Também mostrei a deformação de um corpo como exemplo do que pode ser feito com uma composição de funções G(x,y) = F(T(x,y)) em que F define um objeto, T é uma composição de funções lineares (ou quiças não lineares) produzindo automaticamente a deformação desejada.
Palavras chave: Cáculo multivariado, Álgebra Linear, Cáculo numérico, splines multivariados e univariados.

2011.01 - Prisioneiros da terceira dimensão (Praciano-Pereira, T)
Neste artigo, eu vou justificar porque nós, habitantes de um mundo tridimensional, não temos energia para nos comunicar com universo de dimensão quatro que nos envolve. Também os sinais que porventura nos cheguem de um universo bidimensional não tem energia suficiente para que os possamos perceber.
É esta incapacidade comunicação, que se justifica pelo fato de que a massa, e consequentemente a energia, são fenômenos tridimensionais, que caracteriza que nos encontramos isolados dentro do espaço tridimensional em que vivemos.
palavras chave: dimensão, energia, medida.
In this paper I will explain why we, inhabitants of a three dimensional world, we have no energy to communicate with the four dimensional universe that surrounds us. In the same way, any signal that may come from a two dimensional universe do not have enough energy so that we can perceive it.
It is this inability to communicate, which is justified by the fact that mass, and therefore the energy, are three-dimensional phenomena, characterizes our isolation within the three dimensional space in which we live.
key words: dimension, energy, measure.

2011.02 - A formação do licenciado em matemática (VIANA,P.A.)
O objetivo geral desse artigo é mostrar a importância que a matemática tem no mundo do trabalho e fazer com que consigam aplicar os seus conhecimentos matemáticos, já adquiridos ao logo de sua vida estudantil, em situações reais desse mundo, o qual ele farão parte um dia ou já fazem parte. palavras chave:

2011.03 - Curvas de nível homotópicas a um ponto (Praciano-Pereira, T)
Quando as curvas pertencentes uma família de curvas de nível forem homotópicas a um ponto P então elas podem ser associadas a uma família de círculos concêntricos num ponto R que será atingido por uma segmento de reta passando pelo raio comum. Neste artigo estou construindo um difeomorfismo entre as duas classes de curvas, as curvas de nível homotópicas a um ponto e uma família de círculos concêntricos. Objetivo: produzir um algoritmo para obtenção aproximada de extremos.
palavras chave: curvas homotópicas a um ponto, curvas de nível, extremos.

2011.04 - Algoritmo para determinação de extremos (João Vianey Vasconcelos Rios)
Uma malha selecionada sobre uma região, gera um levantamento de dados amostrais de um determinado fenômeno, que denominarei de modelo E. A partir destes dados, serão obtidas curvas de nível que revelarão o relevo dinâmico do fenômeno estudado, possibilitando previsões a cerca do mesmo. Neste artigo, estou contruindo um difeomorfismo entre as curvas de nível do tipo círculos concêntricos encontradas e uma família de círculos concêntricos.
palavras chave: difeomorfismo entre a curvas, curvas de nível, levantamento de dados amostrais.

2011.05 - Convolução de funções características em R² (Praciano-Pereira, T)
Esta é uma pequena nota mostrando as equações da convolução de duas funções caracteríscas de retângulos do R² e apresentando um link para dois programas em gnuplot que contém as equações definidas na linguagem de gnuplot que lhe fazem os gráficos.
palavras chave: funções características de retângulos, convolução de funções características, gráfico de convolução de funções características.
This a short note to show the equations and the graphics, with gnuplot of the convolution of two characteristic functions of rectangles of R². The scripts of gnuplot are pointed to by a link, they have these equations and produce the graphics.
key words: characteristic functions of rectangles, convolution of characteristic functions, graphics of convolution of characteristic functions.

2011.06 - Núcleos e sinais polinomais (Praciano-Pereira, T)
Neste artigo vou mostrar como podemos construir kernels (núcleos) e sinais polinomiais de classe Cⁿ e a suporte compacto, num espaço de dimensão finita. A metodologia usada é essencialmente a descrita em outro artigo citado na bibliografia, em que o caso de dimensão um foi tratado, e aqui estou expondo a construção para um espaço qualquer de dimensão n. O objetivo é produzir a ferramenta com a qual eu vou construir uma partição da unidade subordinada a cobertura de um retângulo conduzindo a um projetor de interpolação. Em trabalho posterior vou mostrar como a convolução pode ser facilmente substituida, na prática, por translações. Aqui vou me restringir à construção teórica em que a convolução tem um papel central.
palavras chave: splines multivariados, n-splines multivariados a suporte compacto, projetor de interpolação.
In this paper I will show how we can build {\em compact support polynomial kernels and signals} of class Cⁿ in a finite dimensional space. The methodology used is essentially the one described in a previous paper, convolution splines, where the one dimensional case was treated and here I am explaining the construction to any space of dimension n. This is the tool I need to build a partition of unity subordinate to a cover of a rectangle, leading to an interpolation projector. In a later work I will show how the convolution can be easily replaced, in practical works, by a translation. Here I will restrict myself to the theoretical construct in which the convolution has a central role.
key words: multivariate splines, compact support multivariate n-splines, interpolation projector.

2011.07 - A matematica no mundo do trabalho (Patrícia Viana)
O trabalho é uma necessidade na vida de qualquer ser humano. Quando um empregado pensa em trabalhar, ele pensa logo em quanto vai receber pelo seu esforço, mas na verdade ele não sabe o que realmente recebe pelo seu trabalho, assim como a maioria dos empregadores não sabem o que pagam pelo trabalho de seus funcionários. Por isso, vamos aprender como se calcula uma folha de pagamento. A folha de pagamento é divida em duas partes, os proventos (ou vencimentos) e os descontos.
palavras chave: Folha de pagamento, proventos, vencimentos, contribuições

2012.01 - Convolution powers of characteristic functions (Praciano-Pereira, T)
Este artigo apresenta um programa em calc que calcula a potência por convolução de uma função característica para um inteiro positivo arbitrário. O programa está sendo publicado sob a licença GPL e pode assim ser livremente usado ou modificado nos termos desta licença .
palavras chave: GPL, potências por convolução de função característica, programa em Calc, splines.
This paper presents a calc program that calculates the convolution powers of the characteristic function of $[0,1]$ for an arbitrary positive integer. The program is published under the GPL and can be freely used, modified in the terms of this license, GPL.
key words: calc program, convolution power of characteristic function, GPL, splines.

2012.02 - O compilador de documentos LaTeX (Praciano-Pereira, T)
Este artigo descreve num formato de tutorial o que é o LaTeX, um compilador de documentos. O objetivo é abrir a perspectiva do seu uso para professores do Ensino Médio tanto para oferecer-lhes um instrumento que pode agilizar e produzir melhores textos, como também para que eles divulguem LaTeX com seus estudantes. Uma das virtudes deste programa é ajudar na organização do trabalho permitindo construir diversos textos a partir de uma base de dados de textos. A história do LaTeX irá ficar muito curta, apenas mencionada, porque sobre este assunto existe muita coisa já escrita, vou me limitar a apontar referências.
palavras chave: LaTeX, compilador de textos, reutilização de textos. This paper is about LaTeX, a program to compile texts. It is written as a tutorial and the goal is to reach the teacher of the High School with twofold objective one of them being to offer them the information about this tool that can make their life easier regarding the production of documents and other being to use them as vector to reach their students. One of the virtues of this program is to make it possible to produce several different texts from a data base of texts the author have build. The history of LaTeX will no be attempted here as there is much written about the program, I will limit myself to point references about it.
keywords: LaTeX, texts compiler, texts reusing.

2012.03 - Funções analíticas e funções infinitamente diferenciáveis (Praciano-Pereira, T)
Neste pequeno artigo respondo a uma questão de Nick Trefethen recentemente publicada no SIAM News sobre a diferença entre analiticidade e diferenciabilidade infinita. As funções complexas podem ser vistas como funções vetoriais de variável vetorial e as funções analíticas, ou holomorfas, são caracterizadas pelas equações de Cauchy-Riemann e estas últimas são simples consequência do conceito derivada complexa de funções de variáveis complexas. Ao final mostro um caminho rápido para entender os dois famosos operadores diferenciais que caracterizam a derivada complexa e as equações de Cauchy-Riemann.
palavras chave: .
derivada complexa, equações de Cauchy-Riemann, infinitamente diferenciável.

In this short note I give a different answer to a question raised, and answerer by Nick Trefethen in a recent article published at SIAM News about the difference between analytic and infinite differentiability. Complex functions can be understood as vector functions of vector variables but among there those which are analytic or holomorphic which are characterized by Cauchy-Riemann equations and these are simple consequence of complex differentiation. At last I show a short cut to two famous differential operators which characterize complex derivative and Cauchy-Riemann equations. .
key words: Cauchy-Riemann equations, complex differentiation, infinite differentiability.

Atualizada: domingo, 05 de Novembro 2012

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