A integral - função definida com a integral

Na aula de terça-feira, dia 27 de Outubro, eu vou definir integral e usar a integral para definir novas funções a partir de outras.

Interpretação geométrica

Como eu venho sempre fazendo, vou começar pela interpretação geométrica da integral.
A figura contém um gráfico múltiplo, com dois sistemas de coordenadas sincronizados, a variável t representa o tempo.
Quando digo que os dois sistemas de eixos estão sincronizados isto significa que uma perpendicular aos eixos horizontais os cortam no mesmo valor para o tempo.
Em um dos gráficos você pode ver a velocidade constante m e neste gráfico está representada a área limitada
  1. pelo gráfico da velocidade,
  2. pelo eixo horizontal,
  3. e por dois "instantes" selecionados: t0 e t0.
A área assim definida se chama integral e o símbolo matemático que indica este conceito.
Este símbolo, um "S" alongado que vem da palavra "summe" que signica "soma" em alemão.
Logo vou lhe mostrar a razão da conexão, entre a palavra alemã e a integral.
Deixe-me mostrar-lhe os detalhes da notação:
A integral representa a área delimitada
  1. pelo gráfico da funçao, aqui , nesta figura, y = v(t)
  2. pelo eixo horizontal, , nesta figura, é o tempo
  3. entre dois pontos selecionados, dois instantes, o instante t0 e o instante t1
A figura lhe mostra um gráfico em que velocidade não é uniforme, ela varia sob aceleração não constante.
Discuta isto com o professor - não deixe nenhum conceito ficar confuso ou pouco claro, nebuloso. Tudo deve ter uma explicação clara! porém, não se esqueça de que a clareza depende de suas perguntas.

Integral como área

No Cálculo, a integral é área delimitada pelo grafico de uma função entre dois pontos escolhidos no domínio. No exemplo acima o domínio é o tempo e por esta razão eu usei a expressão "entre dois instantes escolhidos".
Desta maneira a integral calcula a quantidade expressa na função entre dois pontos do domínio (no caso univariado que é o que estamos estudando agora).
Mas se eu deixar que um dos extremos fique "livre", seja variável, o resultado é a equação de uma nova função.
Desta forma este instrumento, a integral, nos oferece dois novos objetos a partir da função "integrando" - na figura que estamos discutindo é a função v(t) que representa a velocidade.
  1. quando fixarmos dois pontos do domínio estaremos calculando a quantidade que a função "memoriza" entre entre dois pontos;
  2. no caso da velocidade, esta quantidade "memorizada" é a distãncia percorrida;
  3. quando deixarmos pelo menos um dos limites de integração livre, variável, temos a equação de uma nova função chamada primitiva do integrando.
  4. no caso da velocidade, esta nova função é a função distância.

Como calcular a integral

A figura mostra um problema:
como calcular integrais quando a fronteira, representada pelo gráfico de uma função, não for formada por segmentos de reta?
Quando eu atacar este problema eu irei então justificar a ligação do símbolo com a palavra "summe" - soma.
Mas vou começar com os casos mais simples, o caso da aceleração constante.
Neste caso tenho que calcular a área de um retângulo: m (b-a)
Observe que nesta figura eu identifiquei os dois "instantes" com os símbolos a,b.
Faz parte do jargão da Matemática usar o intervalo [a,b].
Se agora eu considerar "livre" um dos limites de integração, o resultado será a função velocidade obtida como primitiva da aceleração constante.
Observe a relação:
  1. partimos da função aceleração constante, m ;
  2. calculamos a integral considerando uma condição inicial t = a;
  3. resultou numa função do primeiro grau v(t) = m(t - a);
  4. você pode identificar aqui uma situação da Física.
    Este exemplo mostra que o intrumento da Matemática, a integral, serve para modelar esta ciência:
    1. quando a aceleração for constante a sua integral (primitiva) é a velocidade uniformemente acelerada tendo por gráfico uma reta com coeficiente angular m
    2. reciprocamente, a derivada da velocidade é a aceleração constante (neste exemplo a aceleração é constante) que podemos identificar como o coeficiente angular da reta.
  5. estou procurando deixar claro que existe uma relação entre a integral e a derivada.
    Ainda não estou dizendo qual é a relação, mas os exemplos estão sugerindo uma idéia que logo ficará clara. Aparentemente derivada e integral funcionam como operações inversas, e isto é quase verdadeiro.

A integral, o número e a função

Esta exposição tem um defeito que é também a sua principal força... e é preciso que você se conscientize do defeito para poder usufruir do benefício.
Estou mexendo com dois conceitos de uma única vez:
  1. como o número que podemos obter com a integral, a área de uma região bem definida
  2. e com uma função que podemos obter quando deixarmos um dos limites (pelo menos um) livre - variável.
São duas coisas diferentes mas que podem ser discutidas lado a lado.
A lista 12 trata destes conceitos:
  1. No exercício 1 é o número que aparece, alguns dos itens têm como objetivo mostrar que integral pode ser negativa.
  2. Nos exercícios 5,6 aparece a função primitiva, F(x), com a menção de que
    1. há um teorema envolvido, o teorema fundamental do Cálculo.
    2. O exercício também requer que você procure um livro de Cálculo e identifique o teorema fundamental do Cálculo e depois redija a sua forma de ver como o teorema foi usado.
    3. É parte integrante do método incentivá-l@ a buscar outras fontes de consulta e formas diferentes de ver daquelas que o expositor oferece.
    É interessante ver que a derivada aparece também sob estas duas formas:
    1. um número, o coeficiente angular instâneo do gráfico, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico num ponto escolhido, enfim, um número.
    2. a função derivada, uma outra função que deduzimos (derivamos) da função f e que se chama f'
    3. também aqui são dois conceitos que podemos ir levando lado a lado.
    Chegou o momento de tirar conclusões.
    1. Definimos um novo conceito, integral, como sendo um número que mede a área entre o gráfico de uma função e o domínio, entre dois pontos escolhidos do domínio (caso univariado);
    2. Este "número" pode ser variável quando deixarmos pelo menos um dos limites livre, e assim construimos uma nova função que chamei de primitiva.
    3. quando os limites de integração forem dois números (nenhum deles for variável) dizemos que calculamos uma integral definida.
    4. Dos exemplos vistos veio a sugestão de que o cálculo da primitiva e o cálculo da derivada são duas operações produzindo novas funções e que parecem ser operações inversas.
    5. A integral tem algumas propriedades que são consequencias desta definição geométrica:
      1. se os dois limites de integração forem iguais a integral é zero.
      2. se revertermos os limites de integração a integral troca de sinal.

E quando a função não for linear?

Seguindo os passos do exemplo da Física, como motivação, relembrando o que discutimos:
  1. Usamos a aceleração constante, a aceleração não precisa ser constante, foi apenas um exemplo.
  2. A primitiva (integral) da aceleração constante, m é a velocidade uniformemente acelerada v(t) = m(t - a) = m(t - t0).
  3. A primitiva (integral) da velocidade uniformemente acelerada é uma função do segndo grau que representa a distância percorrida:
    s(t) = ½v(t)(t - a) = ½m(t - a)²
    este cálculo foi feito usando a interpretação geométrica da área representanda pela integral que é um "trapésio". Assim s(t) é uma função do segundo grau.
  4. Se m for a negativa aceleração da gravidade você tem a distância percorrida por um corpo em queda livre como já foi visto na lista 11 nos exercícios 4 e 5.
Vamos perder a interpretação física uma vez que a Física não tem nenhuma interpretação, diretamente, para integral da distância percorrida. A Física tem uso para uma modificação desta integral que representa o "trabalho" e que nós iremos estudar, posteriormente, em Cálculo II.
Agora quero calcular a integral de uma função do segundo grau e vou mostrar-lhes que as idéias continuam se completando uma vez que vamos obter uma função do terceiro grau como primitiva de uma função do segundo grau.
Preciso de recorrer ao método que foi pensado pelo grego Arquimedes, e chamado por ele de exaustão. Bem depois, no século 18, um alemão, Riemann, refez o método de Arquimedes de modo mais efetivo conduzindo ao que chamamos hoje de integral à Riemann que vou começar a descrever agora. A idéia de Arquimedes, desenvolvida por Riemann e adaptada para funções, consiste em substituir a área que desejamos calcular por outras que sabemos calcular.
A figura mostra o método, geometricamente. E o texto, que foi retirado do meu livro de Cálculo, começa a construção da teoria de Riemann para as integrais. Se o texto estiver complicado, não desanime, talvez esteja mal escrito, eu ainda não tive tempo de fazer uma revisão do mesmo, entretanto eu estou disponível para perguntas...
O programa rieman.gnuplot é uma função recursiva, escrita em gnuplot para calcular integrais.
Como usar rieman.gnuplot:
Num terminal digite gnuplot rieman.gnuplot
ou dentro do terminal do gnuplot:
load "riemann.gnuplot"
Não se esquecendo de colocar aspas e corrigir o caminho indicando o local certo em que se encontrar o programa no computador.
Eis o programa:
  1. f(x) = x*x
  2. delta=0.0001
  3. riemann(inicio, fim, delta,soma)=(inicio < fim)?\
  4.    riemann(inicio+delta,fim,delta,soma+f(inicio)):soma*delta
  5. print riemann(0,1,delta,0)
O programa calcula a integral da função f(x) = x2 no intervalo [0,1], quem é responsável pelo intervalo é a última linha:
print riemann(0,1,delta,0)
que chama o programa com os valores (0,1) para (inicio, fim) e com o valor do passo delta definido dentro do programa, mas você pode alterar este valor quando chamar o programa.
Este programa é uma função recursiva que mostra que é possível fazerem-se programas em gnuplot.
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