Polinômio de Taylor

Este texto está em preparação, quando estiver pronto, esta observação vai desaparecer. Use o botão de renovação da página para ver a versão mais recente. Palavras chave: aproximação polinomial, derivada segunda, derivada terceira, derivada de ordem n, desenvolvimento limitado, Polinômio de McLaurin, Polinômio de Taylor, polinômios por pedaços, Regra de L'Hôpital
O objetivo da lista 06 é a construção da aproximação polinomial local de uma função com Polinômios de Taylor, é o assunto da lista 06. Vamos poder também fazer alguns avanços consideráveis na compreensão do limite usando os polinômios de Taylor: por exemplo o estudo do comportamento do gráfico de uma função nas vizinhanças de alguns pontos, chamados pontos críticos e quando |x| for muito grande (comportamento no infinito).

Vou discutir melhor o significado deste estudo usando os exemplos produzidos pelas questões da lista que representa o roteiro do trabalho em aula. Ao final você encontra uma lista de exercícios em que será convidado a fazer gráfico de funções como um método para se exercitar na discussão dos pontos críticos.

Equação da reta tangente

A primeira versão do polinômio de Taylor é a equação da reta tangente.
Vou designar a equação da reta por
  1. P(x) = a0 + a1(x - a) ;
  2. y = b + m(x - a) = P(x);
Esta é uma forma de expressar a equação da reta, é a mesma forma escrita de duas maneiras diferentes.
  1. Na primeira equação o coeficiente angular está representado pela letra a1 e ela expressa que a reta passa no ponto (a, a0) com coeficiente angular a1;
  2. A segunda equação é a mais familiar, nela estou usando a letra m para representar o coeficiente angular de uma reta que passa no ponto (a,b); Esta equação expressa que a reta passa no ponto (a,b) com coeficiente angular m .
Eu vou adotar a terminologia da equação (1) neste texto.
Você vai se deparar com uma forma pouco habitual de escrever equações de polinômios, mas estou começando com equação da reta, que é um polinômio do primeiro grau em que se usa comumente a notação que vou adotar. A equação (2) é a comum, e a equação (1) é a versão pouco usual da mesma expressão.
Embora esta forma de escrever equação da reta seja menos usual, ela oferece duas informações importantes:
  1. Um ponto por onde a reta passa: (a,b) = (a, a0); b = a0;
  2. O coeficiente angular da reta: a0 = P'(x) ;

A equação da reta tangente

O objetivo com a equação da reta, nas primeira aulas de Cálculo, foi obter a equação da reta tangente ao gráfico de uma função: Esta é a primeira versão da fórmula de Taylor, a equação de um polinômio do primeiro grau cujo gráfico é tangente ao gráfico da função y = f(x) no ponto (a,f(a)) .

Parábola tangente

Quero agora resolver o problema: como encontrar a melhor parábola tangente ao gráfico de y = f(x) no ponto (a,f(a)) ?
Tem que ser uma parábola passando pelo ponto (a,f(a)) mas agora teremos um problema de seleção (escolha). Reta tangente havia uma única, mas o gráfico nos mostra pelo menos duas parábolas tangentes e na verdade há uma infinidade de parábolas tangentes.
Como desejamos a parábola que melhor descreva o gráfico da equação nas vizinhanças do ponto (a,f(a)), parece que uma das duas parábolas que aparecem no gráfico não seria interessante por que uma delas "desobedece" à curvatura do gráfico no ponto.
Curvatura tem o que ver com aceleração, é a mudança na direção da reta tangente.
É este o significado das sucessivas derivadas, cada nova derivada descreve a taxa de variação da derivada anterior.
Assim,
  1. a segunda derivada vai descreve a taxa de variação da derivada
  2. a primeira derivada, que descreve a taxa de variação local da função e nos permite obter o gráfico da reta tangente.
Para encontrar a melhor parábola tangente vou ter que resolver o seguinte sistema de equações:
  1. P(x) = a0 + a1(x - a) + a2(x - a)2;
  2. P(a) = f(a); a parábola passa no ponto (a,f(a));
  3. P'(a) = f'(a); a parábola passa tangencialmente, ao gráfico de f no ponto (a,f(a));
  4. P''(a) = f''(a); o gráfico da parábola tem a mesma curvatura do gráfico de f no ponto (a,f(a));
A equação (1) é o modelo polinomial que vai descrever a realidade f.
As equações (2-4) são os condicionantes geométricos que estamos impondo ao modelo e devem produzir os coeficientes
a0 , a1 , a2
que definem o modelo.
Observe a linguagem, estou chamando o polinômio y = P(x) de modelo, é uma palavra técnica que representa um método que dominamos, que sabemos implementar computacionalmente, por exemplo, e que deverá representar a realidade y = f(x).
Para descobrir o modelo, o polinômio, tenho que encontrar os seus coeficientes o que vou fazer resolvendo o sistema de equações:
  1. P(x) = a0 + a1(x - a) + a2(x - a)2;
  2. P(a) = f(a); a parábola passa no ponto (a,f(a));
  3. P'(a) = f'(a); a parábola passa tangencialmente, ao gráfico de f no ponto (a,f(a));
  4. P''(a) = f''(a); o gráfico da parábola tem a mesma curvatura do gráfico de f no ponto (a,f(a));
A equação (2) me diz que o polinômio "passa" no ponto (a, f(a)) e quando eu substituir "a" em "x" na equação (1) todos os termos se anulam exceto o primeiro:
P(a) = a0 = f(a) ;
e descobri o valor de a0.
A equação (3) me diz que o polinômio "passa" no ponto (a, f(a)), tangencialmente, portanto devo calcular a derivada de P para impor à condição descrita na equação (3): e quando eu substituir "a" em "x" na equação da derivada de P(x) o termo do segundo grau se anula :
a1 = f'(a);
e descobri o valor de a1.
Até aqui os coeficientes estão coincidindo com os coeficientes da reta tangente. Nada de extraordinário, a equação da parábola contem a equação de uma reta com o acréscimo de um termo do segundo grau.
Para aplicar a equação (4) vou derivar a derivada:
P''(x) = 2 a2;
chegando a uma constante à qual vou aplicar a equação (4) para calcular o valor de a2:
Obtive assim a equação da parábola tangente ao gráfico de y = f(x) no ponto x = a.
A parábola tangente
A equação da reta tangente e a da parábola tangente, são dois dos modelos mais usados, porque na prática as derivadas de ordem superior a dois dificilmente conseguem ser calculadas, aproximadamente, sem erros controláveis.
Eu citei, na aula passada, que a parábola tangente seria o modelo utilizado para colocar um módulo em uma estação espacial, para anexar um módulo a estação espacial internacional.
O foquete transportando o módulo deve chegar ao ponto certo com a velocidade certa e com a concavidade certa (aceleração) caso contrário não fica onde deve ficar. Vou re-escrever isto usando a notação de modelo e realidade que já usei acima, é uma repetição agora "aplicada" num exemplo real que espero que seja motivante.
Como acima, P, o polinômio é o modelo, o algoritmo computacional, a máquina que podemos controlar. A equação da rota do foguete é o modelo, é um polinômio, aqui representado por y = P(x).
A função f é a realidade, algo que medimos e que desejamos que o modelo represente uma aproximação com a menor quantidade de erros que for possível, mas sem preconceitos contra erros. A rota da estação espacial é a realidade, na linguagem que estou usando aqui, representada por y = f(x).
Um comentário ao final irá corrigir a distorção deste exemplo.
  1. Chegar ao ponto certo: P(a) = f(a);
  2. Se aproximar numa rota tangente á rota da estação: P'(a) = f'(a);
  3. Se aproximar com a aceleração certa ao ponto de tangência: P''(a) = f''(a);
Mas o que sabemos neste momento ainda não é o suficiente para executar esta tarefa apesar de que a teoria é esta que lhes está sendo exposta. Por exemplo, rotas de foguetes não são parabólicas, são curvas que podem ser parabólicas por pedaços, elas devem ser corrigidas em tempo real com aceleração produzida por foguetes e estas correções calculadas por programas que o computador de bordo executa. Na verdade não é um polinômio de que se precisa, mas de um programa que use polinômios para construir segmentos de trajetória corrigidos dentro de cada cíclo do problema.
Então aqui você está vendo aparecer uma nova palavra, ciclo, que é uma "rodada" do ponteiro do relógio do computador.
Na verdade este um problema para ser resolvido com Cálculo Numérico, mas você precisará saber o que estamos aqui discutindo para poder entender a solução mais a frente.

Polinômio do terceiro grau tangente

Embora eu vá entrar em contradição com o que eu disse anteriormente, que usamos basicamente modelos do primeiro grau ou do segundo grau, no máximo, ainda assim eu vou prosseguir para encontrar o polinômio de Taylor de grau n.
Quando você estiver estudando Cálculo Numérico, verá que os melhores modelos são do terceiro grau, e o método a ser aplicado para construí-los será uma alteração bem engenhosa dos polinômios de Taylor que não posso fazer aqui sem perder o rumo do objetivo na disciplina. Em Cálculo Numérico você vai descobrir que a minha afirmação aqui está errada, os melhores modelos são do terceiro grau, entretanto é preciso uma modificação da fórmula de Taylor para construí-los e eu não vou entrar nesta questão. O objetivo do Cálculo Diferencial e Integral é modesto: ele cria a base para que sejam construídos os modelos.
Nas equações abaixo vou começar com o polinômio de terceiro grau que vai nos permitir uma "correção" na fórmula da parábola tangente e dar o salto para o caso geral.
Para obter o polinômio do terceiro grau tangente, o vou fazer é repetir o sistema de equações envolvendo o modelo, y = P(x), e a realidade y = f(x) acrescentando a condição da terceira derivada. Eis o sistema de equações:
  1. P(x) = a0 + a1(x - a) + a2(x - a)2 + a3(x - a)3 ;
  2. Chegar ao ponto certo: P(a) = f(a);
  3. Se aproximar numa rota tangente á rota da estação: P'(a) = f'(a);
  4. Se aproximar com a aceleração certa ao ponto de tangência: P''(a) = f''(a);
  5. Se aproximar com terceira derivada certa ao ponto de tangência: P'''(a) = f'''(a);
Observe a ausência de um nome geométrico, mas ele existe: torsão. A torsão é a medida da variação do afastamento de uma curva do plano tangente no espaço. Entretanto este detalhe em geral fica de fora, quando uma sonda espacial se aproxima de objeto em órbita, o problema se torna "plano" na prática.
Desejamos encontrar os coeficientes
a0 , a1, a2, a3
do modelo y = P(x): resolvendo o sistema de equações acima, como já fizemos para o polinômio do segundo grau.
Sem entrar nos detalhes das contas, espero que você mesmo as faça, vou calcular direto o coeficiente a3 uma vez que as equações são as mesmas com um acréscimo para este coeficiente - o resto não muda:
P'''(x) = 6 a3 = f'''(a) ;
Tornando verdadeira a alternativa (e) da questão 1)
Polinômio de Taylor
Uma fórmula terrivelmente feia, e beleza é a condição de correção em Matemática, então esta fórmula ou está errada ou está mal escrita. Como as contas parecem bem feitas, temos que olhar de perto para ver onde pode haver um erro de informação. E descobrimos que
  1. 6 é o fatorial de 3,
  2. que 2 é o fatorial de 2,
  3. 1 é o fatorial de 1
  4. 1 é o fatorial de zero - a derivada de ordem zero é a própria função - uma invenção para corrigir a fórmula!
Na página, no link programas, você encontra os programas Seno.gnuplot, Coseno.gnuplot que produzem o gráfico do polinômio de Taylor de grau 17 para seno, e de grau 16 para o coseno. Eles também fazem o gráfico do seno e do coseno de forma que podemos ver o erro no intervalo [-6,6]. Aqui está a expressão do polinômio de Taylor de grau 3, as reticências indicam que a fórmula contínua e depende da quantidade de derivadas que se conheça do modelo f. O programa lhe mostra como deve ser o algoritmo que calcula seno e coseno numa calculadora.