Triângulo de Pascal

Deixe-me apresentar-lhe um instrumento milenar - se supõe que foi descoberto pelos Chineses há alguns milênios, o triângulo de Pascal
Até a quarta linha do triângulo de Pascal podemos ver as potências de 11:
  1. 11 elevado a zero ---> 1
  2. 11 elevado a um ---> 11
  3. 11 elevado a dois ---> 121
  4. 11 elevado a três ---> 1331
  5. 11 elevado a quatro ---> 14641
Da quarta linha em diante esta afirmação continua valendo mas temos que fazer uma "interpretação" para vê-lo.

Interpretando as linhas posteriores à quarta no Triângulo

Na quinta linha aparece "10". Se você aplicar a regra habitual que usamos para fazer contas - passar para a casa seguinte o algarismo da dezena, fica:
  1. 1 5 10 10 5 1
  2. 1  6   1   0 5 1 --> 11 elevado a cinco 161051
Na sexta linha aparecem 15 e 20 aos quais podemos aplicar a mesma regra da passagem para a casa seguinte:
  1. 1 6 15 20 15 6 1
  2. 1 7  7  1    5  6 1 --> 11 elevado a seis 1771561
Poderiamos seguir fazendo esta interpretação, mas o que fiz acima deve deixá-l@ convencid@ de que as linhas do triangulo de Pascal podem ser interpretadas como as potências de 11.
Porém elas podem ter uma outra interpretação que é mais importante e que vou deduzir desta.
Observe como calculamos as potências de 11
As potências de 11 são um caso particular da multiplicação que podemos descrevê-las como:
  1. Escrevemos o multiplicando duas vezes, um abaixo do outro
  2. O de baixo leva um deslocamento para esquerda - foi multiplicado por 10.
  3. Somamos as colunas para obter a nova potência de 11.
No caso do Triângulo, somamos as colunas sem passar nada para a casa seguinte. Assim, cada linha do Triângulo é obtida da anterior usando este algoritmo que descrevi. Isto também "prova" que as linhas do Triângulo são as sucessivas potências de 11.

As linhas do Triângulo - coeficientes do Binômio de Newton

Corrigindo a informação acima, as linhas do Triângulo não são "apenas" as potências de 11. Cada elemento da linha de ordem "n" é um coeficiente dos termos da enésima potência da soma (a+b).
Observe que
11 = 10 + 1

Experimente desenvolver as potências de (a + 1) e compare com as linhas do Triângulo.
Experimente agora desenvolver as potências de (a + b) e compare com as linhas do Triângulo.

Indução Finita

Leia novamente o texto sobre indução finita. Eu vou usar este método de demonstração, a indução finita, para concluir que o Triângulo é formado pelos coeficientes do Binômio de Newton.
Em resumo, o método da indução finita consiste em:
  1. Temos que demonstrar que P(n) é verdadeira, em que P(n) representa uma afirmação qualquer que depende do número natural "n".
  2. Identificamos um ponto de partida, o primeiro valor de "n" para o qual P(n) é verdadeira. Não precisa ser P(0), nem P(1)...
  3. Hipótese de indução: admitimos, (é uma hipótese) que P(k) é verdadeiro - número natural "k" maior do que o primeiro valor que identificamos acima.
  4. Tentamos provar a implicação:
    P(k) ===> P(k+1)
    Se tivermos sucesso, então P(n) é verdadeiro para qualquer "n" maior do que o primeiro valor que identificamos como ponto inicial.
No caso do Triângulo.
  1. P(0) significa a linha de ordem zero contém os coeficientes de (a+b) elevado a zero.
    Isto é verdadeiro!
  2. Hipótese de indução:
    P(k) significa, a linha de ordem "k" contém os coeficientes do desenvolvimento da potência k-esima de (a+b).
  3. Vamos deduzir, da hipótese de indução, que a linha de ordem "k+1" contém os coeficientes da potência "k+1" de (a+b).
    1. Considere (a+b)^{k} - notação do LaTeX e de algumas linguagens de programação para potência. Por hipótese os coeficientes deste desenvolvimento estão na linha de ordem "k" do Triângulo.
    2. Quando multiplicarmos por "a" vamos aumentar de uma unidade todas as potências de "a" em (a+b)^{k} sem mexer nas potências de "b".
      Quando multiplicarmos por "b" vamos aumentar de uma unidade todas as potências de "b" em (a+b)^{k} sem mexer nas potências de "a".
      Em ambos os casos a única modificação: nas potências, sem alterar os coeficientes.
      Para deixar coincidindo os termos semelhantes, temos que "arrastar" uma dessas expressões para direita ou para esquerda, digamos que seja a segunda - quando multiplicamos por "b" que seja "arrastada" para direita.
      Foi o que fizemos todo tempo as potências de 11.

    3. Precisamos de uma notação para prosseguir a demonstração. Observe que na linha de ordem "k" tem "k+1" termos que podemos numerá-los de 0 até k.
      A notação usada é
      C0,k,  C1,k,  C2,k,  ...,  Ck,k
      Em que os números
      Cj,k

      representam os coeficientes no desenvolvimento de (a+b)^{k}.
      Portanto para fazer coincidir em cada coluna os termos semelhantes teremos:
      C0,  k, C1,k,   C2,k,   ...,   Ck,k
               C0,k,   C1,k,   C2,k,   ...,   Ck,k
      C0,k+1, C1,k+1, C2,k+1, ..., Ck,k+1 Ck+1,k+1
      Que produz a definição da próxima linha:
      Cj+1,k+1 = Cj+1,k+1 + Cj+1,k+1
    4. Como a próxima linha é o produto de (a+b)^{k} por (a+b) então os coeficientes de (a+b)^{k+1} se encontram na linha de ordem k+1 do Triângulo, quer dizer:
      P(k) ==> P(k+1)
Demonstrei, usando indução finita, que as potências de (a+b)^{n} tem os seus coeficientes na linha de ordem n do Triângulo de Pascal.